三维：曲面与选中的截线
粗线表示 z = k 的截线。三维曲面仅画有限窗口，不表示曲面在窗口边缘终止。
空间解析几何 · 配套图例
先看截面，再看空间；先查存在，再做投影。
这四组图例对应讲义里最容易误判的四个环节。每张三维图旁都有不受透视影响的二维图；可以直接使用固定视角按钮，不必靠拖动寻找观察角度。
水平切一刀，形状就有了依据。
三维图取标准系数为 1。一般椭圆型曲面只需沿各坐标方向伸缩；截面中的“圆”相应变为椭圆。
二维：只看这一刀切出的截线
绕 z 轴旋转：保留高度，保留半径。
母线是一条不与 z 轴相交的斜直线。选择母线上的点，再改变旋转角；这个点走出的轨迹始终是同一水平圆。
三维：整条母线旋转后生成的曲面
二维：令 y = 0 得到的经线截面
右端的最小值是 1/5，而不是 0。因此曲面有一个非零的“腰”，不会在轴上收成锥顶。仅凭母线是直线，不能断言生成的是圆锥面。
一个投影点，必须能找回至少一个真实原像。
把这条空间曲线沿 x 轴投影到 yOz 平面。消去 x 后得到双曲线方程，但并不是这条双曲线上的每个点都能找回实数 x。
三维：原曲线与 x = 0 平面上的投影
三维图中的点划线在 x = 0 平面内；它们不是额外的空间交线。
二维：实线是真实投影，虚线是多出的部分
真正的投影集合
同一个等式，两种任务
只要求“一个包含原曲线的柱面”，完整双曲柱面可以满足要求；要求“这条曲线的精确投影”，则必须保留实数存在条件。二者不能混为一谈。
把立体投影出去，不是把一条交线简单填满。
上半圆锥面与抛物柱面围成的有界立体。先用不等式写清楚“里面”，再判断哪些保留坐标存在合法的被消去坐标。
三维：两片边界曲面与竖直切片
只画包围该立体的曲面部分。切换“正面”可直接对照下方的 xOz 投影。
二维：在 x = c 内，z 究竟能取哪些值
三个坐标面上的投影
下面的阴影是区域，不是曲线。二维图统一使用等长坐标单位；投影到哪个坐标面，就只保留那个坐标面的两个变量。
xOy：一个圆盘
保留 x、y。上下界之间必须有可选的 z，即 x² + y² ≤ 2x。
yOz：四次曲线围成的区域
保留 y、z。虽然可写成平方和形式，但含有 z⁴，不是椭圆。
xOz：一条直线与一段抛物线之间
交线只投影到上边界 z = √(2x)。下边界 z = x 来自圆锥面的轮廓，不能漏掉。
投影的本质是“存在”：某一组保留下来的坐标，只要能找到至少一个合法的第三坐标，就属于投影。把第三坐标设成 0，求到的是截面，不是一般意义上的投影。